Beweis der Gleichmächtigkeit zweier Mengen

[netbuster]

Moin,
ich bin jetzt glaub ich echt zu lange raus ausm Studium und bekomme so einen einfachen Beweis nicht mehr hin.... das kommt davon wenn man tag ein tag aus nur noch vorm rechner sitzt und forecasted und budgetiert glaub ich.

kann mir bitte mal irgendjemand, der sich vermutlich grade selbst damit im studium beschäftigt, den folgenden beweis schlüssig darlegen?

Seien nun M1 = N die Menge der natürlichen Zahlen, d.h. M1 = {0,1,2,3...} und
M2 die Menge der geraden natürlichen Zahlen, d.h. M2 = {0,2,4,6,...} Zeigen
Sie, dass M1 und M2 gleichmächtig sind.

ich bedanke mich recht herzlich im vorraus.

 

[[MTB]JackTheRipper]

Hmm, beide Mengen sind abzählbar unendlich, weshalb auch eine bijektive Beziehung möglich ist und sie somit gleich mächtig sind.
Du musst also nur beweisen, dass beide Mengen abzählbar unendlich sind, wenn das in diesem Fall nicht als trivial anzusehen ist.

 

[netbuster]

hm vielleicht liegts auch daran, dass es zu trivial ist, da könntest du recht haben ^^

die tatsache, dass beide mengen abzählbar unendlich sind ist klar und für mich nach 11 semestern informatik + einigen semestern physik eine selbstverständlichkeit.

die aufgabenstellung ist allerdings eindeutig "beweisen sie, dass beide mengen gleichmächtig sind" und ich steh jetzt wie der ochs vorm berg und habe nicht die geringste ahnung, wie ich das aufschreiben soll.

denn mit dem satz "beide mengen sind abzählbar unendlich und bijektiv und daher gleichmächtig" kann ich glaube ich nicht kommen *g*

 

[Antarctica]

"beide mengen sind abzählbar unendlich und bijektiv und daher gleichmächtig"

Föllig falsch.

Richtig ist's eher so:
"Gleiche Mächtigkeit ist gegeben, wenn eine bijektive Abbildung existiert (Skript, Satz xyz). Es genüge daher als Beweis die folgende bijektive Abbildung: M1 -> M2, x -> 2x, die jeder natürlichen Zahl eine gerade Zahl zuordnet.

Beweisen wir nun die Bijektivität der Abbildung. Notwendige und hinreichende Bedingung für Bijektivität sind Injektivität und Surjektivität. (Skript, Satz xyz)

Beweis Injektivität:
Seien f(x1), f(x2) in W (Wertebereich).
f(x1) = f(x2) -> 2x1 = 2x2 -> x1 = x2. QED

Beweis Surjektivität:
\forall x in M2 \exists x/2 in M1
Es gebe ein x in M2 so dass x/2 keine natürlich Zahl ist. Dann ist x keine gerade Zahl und damit nicht in M2 -> Widerspruch. QED

Damit ist die Abbildung von M1 in M2 bijektiv, die Mengen also gleichmächtig. QED."

(Echte Mathematiker würden natürlich weniger Wörter verwenden, aber ich bin Informatiker...)

 

[[MTB]JackTheRipper]

Völlig falsch ist es nicht, es ist immer nur die Frage, was man als trivial annehmen darf und nicht herzuleiten braucht.

Sei die Folgerung einer Bijektivität zweier beliebiger abzählbar unendlicher Mengen gegeben, reicht es zu zeigen dass die beiden Mengen abzählbar unendlich sind. Aber man kann auch immer alles auch umständlich erledigen

Es ist halt immer die Frage für was man sowas braucht.